Číselné obory

Historie čísel 

• N                                             3000 BC                Egypt
• Kladné zlomky                           2000 BC                Egypt
• Kladná iracionální čísla              600 BC                  Řecko
• Záporná čísla + 0                       300 BC                  Difantos
• Záporná čísla + operace s nimi   Descartes (Cartesius; 1590 - 1650)
• Komplexní čísla                          16. století            Cardano

                                                    17. - 18.               Newton, Leibnic

                                                    18.                       Gauss

N – přirozená čísla – kladná, celá čísla bez nuly       1, 2, 3, 4, 5 ...

N₀ – přirozená čísla včetně nuly                                0,1, 2, 3, 4, 5 ...

Z – celá čísla – kladná i záporná                              ...-3,-2,-1,0,1, 2, 3 ...

Q – racionální čísla – desetinná čísla, zlomky          Q = {P/q; p,q e Z, q =/ 0}

R – reálná čísla – všechna čísla, √2, ², p...               R = Q u I (iracionální; √2, √3, π, e)

K – komplexní čísla – odmocnina ze záporného čísla

Základní pojmy:

vztah: < ; > ; =

a) základní operace +, ´            sčítanec + sčítanec = součet

                                               činitel ´ činitel = součin

b) inverzní základní -, :             menšenec – menšitel = rozdíl

                                               dělenec : dělitel = podíl

 c) (-a) číslo opačné k číslu a

     1/a číslo převrácené k číslu a

      √a číslo odmocněné k číslu a

       a²   číslo umocněné k číslu a (druhá mocnina čísla)

Číselný obor: Množina všech čísel určitého druhu, v němž je bez omezení definováno sčítání a násobení.

Základní věty o operacích:

Komutativnost         a+b=b+a (záměna sčítanců nebo činitelů)

                                                                               a.b=b.a                      

Asociativnost      (a+b)+c=a+(b+c)

                         (a.b).c=a.(b.c)

Distributivnost   (a+b).c=ac+bc (roznásobování závorky)

                         ac+bc=c(a+b)   (vytýkání před závorku)

            číslo je: kladné -          a> 0

                        záporné -         a< 0

                        nekladné -       a<= 0

                        nezáporné -     a>= 0

Vlastnosti čísel

 Obor přirozených čísel (N)         

• Pro každá 3 přirozená čísla a, b, c platí:
  • a + b Î N; a . b Î N                  vlastnost uzavřenosti
  • a + b = b + a; a . b = b . a        komutativita
  • a + (b+c) = (a+b) + c; a . (b.c) = (a.b) . c asociativita
  • 1a = a                                     existence neutrálního prvku
  • a . (b+c) = ab + ac                   distributivita
• Rozdíl a - b existuje právě tehdy, když a > b
• Podíl a/b existuje <=> a = k. b; b e N

Obor celých čísel (Z)                             

• Pro každá 3 celá čísla a, b, c platí:
  • a + b e Z; a . b e Z                   vlastnost uzavřenosti
  • a + b = b + a; a . b = b . a        komutativita
  • a + (b+c) = (a+b) + c; a . (b.c) = (a.b) . c asociativita
  • 1a = a                                     existence neutrálního prvku
  • a . (b+c) = ab + ac                   distributivita
• Podíl a/b existuje <=> Ek e Z; a = k . B

Obor racionálních čísel (Q)                     Q = {p/q; p,q e Z; q =/ 0}

• Zlomek p, q (nesoudělné), desetinné číslo, nekonečný periodický rozvoj (1/3)
• Základní tvar racionálního čísla je Z/1
• Pro každá 3 racionální čísla a, b, c platí:
  • a + b e Z; a . b e Z                   vlastnost uzavřenosti
  • a + b = b + a; a . b = b . a        komutativita
  • a + (b+c) = (a+b) + c; a . (b.c) = (a.b) . c asociativita
  • 1a = a; a + 0 = a                     existence neutrálního prvku
  • a . (b+c) = ab + ac                   distributivita
• p/q < r/s <=> p.s < r.q
• p/q + r/s = (ps + qr)/ qs
• p/q . r/s = pr / qs
• (n/q)-² = (q/n)²

   

  Převod periodického čísla na zlomek:

                         0,3־ = x

                        3,3 ־ = 10x

                              3 = 9x

                              x = 3/9 = 1/3

Obor iracionálních čísel (I)                    

• √prvočísla, π, e, goniometrické funkce
• Lze zapsat jen nekonečným periodickým desetiným rozvojem

Obor reálných čísel (R)                                      Q u I

• Velikosti úseček, čísla k nim opačná a 0
• Každé reálné číslo je znázorněno 1 bodem
• Každý bod číselné osy je obrazem 1 reálného čísla
• Absolutní hodnota (geometricky vzdálenost čísla od počátku)

Komplexní čísla (K)

– odmocnina ze záporného čísla

i - imaginární jednotka

 i² = -1 x² = -1

                        x² = i²

                        x¹ = i

                        x² = -i

Gausova rovina slouží k zobrazení čísla, které je složeno z reálného a imaginárního čísla

Algebraický tvar komplexního čísla

            z = a + b i imaginární jednotka

                  /     \

            reálná imaginární složka

            z¯= a – b i číslo komplexně sdružené se z – zaměněno znamínko u komplexní složky

Goniometrický tvar komplexního čísla Z = lzl . (cos α + i sin α)

Uzavřenost oborů vzhledem k operacím

            Přirozená čísla uzavřená k +, x,

            Celá čísla uzavřená k +, x, -

            Racionální čísla uzavřená k +, x, -, : (s vyjímkou 0)

                        2k – sudé číslo

                        2k+1 – liché číslo